Sunday, February 27, 2011

Mas Ejercicios

De la Web:

1. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
m = 5     n = 5
entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
Permutaciones
2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
permutaciones
3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
Permutaciones circulares
4. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9
entran todos los elementos.
importa el orden.
se repiten los elementos.
Permutaciones con repetición
5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
entran todos los elementos.
importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
6. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
entran todos los elementos.
importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8
solución
7. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
entran todos los elementos.
importa el orden.
se repiten los elementos.
Permutaciones con repetición
8. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.
entran todos los elementos.
importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
9. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:
entran todos los elementos.
importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
10. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:
1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
solución
solución
2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
solución
solución
11. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?
solución
12. Resolver las ecuaciones:
1. ecuaciones combinatorias
ecuaciones combinatorias
ecuaciones combinatorias
ecuaciones combinatorias
2. ecuaciones combinatorias
ecuaciones combinatorias
ecuaciones combinatorias
ecuaciones combinatorias
3. ecuaciones combinatorias
ecuaciones combinatorias
ecuaciones combinatorias

Diferenciacion de Permutacion y Combinacion

Navega hacia esta direccion y encontraras facilmente una forma de distinguir la combinacion y permutacion:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

Thursday, February 10, 2011

Video Probabilidad

Analisis Descriptivo

En este artículo se abordará la representación gráfica de los resultados de un estudio, constatando su utilidad en el proceso de análisis estadístico y la presentación de datos. Se describirán los distintos tipos de gráficos que podemos utilizar y su correspondencia con las distintas etapas del proceso de análisis.
Analisis Descriptivo
Cuando se dispone de datos de una población, y antes de abordar análisis estadísticos más complejos, un primer paso consiste en presentar esa información de forma que ésta se pueda visualizar de una manera más sistemática y resumida. Los datos que nos interesan dependen, en cada caso, del tipo de variables que estemos manejando2.
Para variables categóricas3, como el sexo, estadio TNM, profesión, etc., se quiere conocer la frecuencia y el porcentaje del total de casos que "caen" en cada categoría. Una forma muy sencilla de representar gráficamente estos resultados es mediante diagramas de barras o diagramas de sectores. En los gráficos de sectores, también conocidos como diagramas de "tartas", se divide un círculo en tantas porciones como clases tenga la variable, de modo que a cada clase le corresponde un arco de círculo proporcional a su frecuencia absoluta o relativa. Un ejemplo se muestra en la Figura 1. Como se puede observar, la información que se debe mostrar en cada sector hace referencia al número de casos dentro de cada categoría y al porcentaje del total que estos representan. Si el número de categorías es excesivamente grande, la imagen proporcionada por el gráfico de sectores no es lo suficientemente clara y por lo tanto la situación ideal es cuando hay alrededor de tres categorías. En este caso se pueden apreciar con claridad dichos subgrupos.
Los diagramas de barras son similares a los gráficos de sectores. Se representan tantas barras como categorías tiene la variable, de modo que la altura de cada una de ellas sea proporcional a la frecuencia o porcentaje de casos en cada clase (Figura 2). Estos mismos gráficos pueden utilizarse también para describir variables numéricas discretas que toman pocos valores (número de hijos, número de recidivas, etc.).
Para variables numéricas continuas, tales como la edad, la tensión arterial o el índice de masa corporal, el tipo de gráfico más utilizado es el histograma. Para construir un gráfico de este tipo, se divide el rango de valores de la variable en intervalos de igual amplitud, representando sobre cada intervalo un rectángulo que tiene a este segmento como base. El criterio para calcular la altura de cada rectángulo es el de mantener la proporcionalidad entre las frecuencias absolutas (o relativas) de los datos en cada intervalo y el área de los rectángulos. Como ejemplo, la Tabla I muestra la distribución de frecuencias de la edad de 100 pacientes, comprendida entre los 18 y 42 años. Si se divide este rango en intervalos de dos años, el primer tramo está comprendido entre los 18 y 19 años, entre los que se encuentra el 4/100=4% del total. Por lo tanto, la primera barra tendrá altura proporcional a 4. Procediendo así sucesivamente, se construye el histograma que se muestra en la Figura 3. Uniendo los puntos medios del extremo superior de las barras del histograma, se obtiene una imagen que se llama polígono de frecuencias. Dicha figura pretende mostrar, de la forma más simple, en qué rangos se encuentra la mayor parte de los datos. Un ejemplo, utilizando los datos anteriores, se presenta en la Figura 4.
Otro modo habitual, y muy útil, de resumir una variable de tipo numérico es utilizando el concepto de percentiles, mediante diagramas de cajas4,5. La Figura 5 muestra un gráfico de cajas correspondiente a los datos de la Tabla I. La caja central indica el rango en el que se concentra el 50% central de los datos. Sus extremos son, por lo tanto, el 1er y 3er cuartil de la distribución. La línea central en la caja es la mediana. De este modo, si la variable es simétrica, dicha línea se encontrará en el centro de la caja. Los extremos de los "bigotes" que salen de la caja son los valores que delimitan el 95% central de los datos, aunque en ocasiones coinciden con los valores extremos de la distribución. Se suelen también representar aquellas observaciones que caen fuera de este rango (outliers o valores extremos). Esto resulta especialmente útil para comprobar, gráficamente, posibles errores en nuestros datos. En general, los diagramas de cajas resultan más apropiados para representar variables que presenten una gran desviación de la distribución normal. Como se verá más adelante, resultan además de gran ayuda cuando se dispone de datos en distintos grupos de sujetos.
Por último, y en lo que respecta a la descripción de los datos, suele ser necesario, para posteriores análisis, comprobar la normalidad de alguna de las variables numéricas de las que se dispone. Un diagrama de cajas o un histograma son gráficos sencillos que permiten comprobar, de un modo puramente visual, la simetría y el "apuntamiento" de la distribución de una variable y, por lo tanto, valorar su desviación de la normalidad. Existen otros métodos gráficos específicos para este propósito, como son los gráficos P-P o Q-Q. En los primeros, se confrontan las proporciones acumuladas de una variable con las de una distribución normal. Si la variable seleccionada coincide con la distribución de prueba, los puntos se concentran en torno a una línea recta. Los gráficos Q-Q se obtienen de modo análogo, esta vez representando los cuantiles de distribución de la variable respecto a los cuantiles de la distribución normal. En la Figura 6 se muestra el gráfico P-P correspondientes a los datos de la Tabla I que sugiere, al igual que el correspondiente histograma y el diagrama de cajas, que la distribución de la variable se aleja de la normalidad.
Comparación de dos o mas grupos
Cuando se quieren comparar las observaciones tomadas en dos o más grupos de individuos una vez más el método estadístico a utilizar, así como los gráficos apropiados para visualizar esa relación, dependen del tipo de variables que estemos manejando.
Cuando se trabaja con dos variables cualitativas podemos seguir empleando gráficos de barras o de sectores. Podemos querer determinar, por ejemplo, si en una muestra dada, la frecuencia de sujetos que padecen una enfermedad coronaria es más frecuente en aquellos que tienen algún familiar con antecedentes cardiacos. A partir de dicha muestra podemos representar, como se hace en la Figura 7, dos grupos de barras: uno para los sujetos con antecedentes cardiacos familiares y otro para los que no tienen este tipo de antecedentes. En cada grupo, se dibujan dos barras representando el porcentaje de pacientes que tienen o no alguna enfermedad coronaria. No se debe olvidar que cuando los tamaños de las dos poblaciones son diferentes, es conveniente utilizar las frecuencias relativas, ya que en otro caso el gráfico podría resultar engañoso.
Por otro lado, la comparación de variables continuas en dos o más grupos se realiza habitualmente en términos de su valor medio, por medio del test t de Student, análisis de la varianza o métodos no paramétricos equivalentes, y así se ha de reflejar en el tipo de gráfico utilizado. En este caso resulta muy útil un diagrama de barras de error, como en la Figura 8. En él se compara el índice de masa corporal en una muestra de hombres y mujeres. Para cada grupo, se representa su valor medio, junto con su 95% intervalo de confianza. Conviene recordar que el hecho de que dichos intervalos no se solapen, no implica necesariamente que la diferencia entre ambos grupos pueda ser estadísticamente significativa, pero sí nos puede servir para valorar la magnitud de la misma. Así mismo, para visualizar este tipo de asociaciones, pueden utilizarse dos diagramas de cajas, uno para cada grupo. Estos diagramas son especialmente útiles aquí: no sólo permiten ver si existe o no diferencia entre los grupos, sino que además nos permiten comprobar la normalidad y la variabilidad de cada una de las distribuciones. No olvidemos que las hipótesis de normalidad y homocedasticidad son condiciones necesarias para aplicar algunos de los procedimientos de análisis paramétricos.
Por último, señalar que también en esta situación pueden utilizarse los ya conocidos gráficos de barras, representando aquí como altura de cada barra el valor medio de la variable de interés. Los gráficos de líneas pueden resultar también especialmente interesantes, sobre todo cuando interesa estudiar tendencias a lo largo del tiempo (Figura 9). No son más que una serie de puntos conectados entre sí mediante rectas, donde cada punto puede representar distintas cosas según lo que nos interese en cada momento (el valor medio de una variable, porcentaje de casos en una categoría, el valor máximo en cada grupo, etc).
Relacion entre dos variables numericas
Cuando lo que interesa es estudiar la relación entre dos variables continuas, el método de análisis adecuado es el estudio de la correlación. Los coeficientes de correlación (Pearson, Spearman, etc.) valoran hasta qué punto el valor de una de las variables aumenta o disminuye cuando crece el valor de la otra. Cuando se dispone de todos los datos, un modo sencillo de comprobar, gráficamente, si existe una correlación alta, es mediante diagramas de dispersión, donde se confronta, en el eje horizontal, el valor de una variable y en el eje vertical el valor de la otra. Un ejemplo sencillo de variables altamente correlacionados es la relación entre el peso y la talla de un sujeto. Partiendo de una muestra arbitraria, podemos construir el diagrama de dispersión de la Figura 10. En él puede observarse claramente como existe una relación directa entre ambas variables, y valorar hasta qué punto dicha relación puede modelizarse por la ecuación de una recta. Este tipo de gráficos son, por lo tanto, especialmente útiles en la etapa de selección de variables cuando se ajusta un modelo de regresión lineal.
Otros Graficos
Los tipos de gráficos mostrados hasta aquí son los más sencillos que podemos manejar, pero ofrecen grandes posibilidades para la representación de datos y pueden ser utilizados en múltiples situaciones, incluso para representar los resultados obtenidos por métodos de análisis más complicados. Podemos utilizar, por ejemplo, dos diagramas de líneas superpuestos para visualizar los resultados de un análisis de la varianza con dos factores (Figura 11). Un diagrama de dispersión es el método adecuado para valorar el resultado de un modelo de regresión logística (Figura 12). Existen incluso algunos análisis concretos que están basados completamente en la representación gráfica. En particular, la elaboración de curvas ROC (Figura 13) y el cálculo del área bajo la curva constituyen el método más apropiado para valorar la exactitud de una prueba diagnóstica.
Hemos visto, por lo tanto, como la importancia y utilidad que las representaciones gráficas pueden alcanzar en el proceso de análisis de datos. La mayoría de los textos estadísticos y epidemiológicos4 hacen hincapié en los distintos tipos de gráficos que se pueden crear, como una herramienta imprescindible en la presentación de resultados y el proceso de análisis estadístico. No obstante, es difícil precisar cuándo es más apropiado utilizar un gráfico que una tabla. Más bien podremos considerarlos dos modos distintos pero complementarios de visualizar los mismos datos. La creciente utilización de distintos programas informáticos hace especialmente sencillo la obtención de las mismas. La mayoría de los paquetes estadísticos (SPSS, STATGRAPHICS, S-PLUS, EGRET,...) ofrecen grandes posibilidades en este sentido. Además de los gráficos vistos, es posible elaborar otros gráficos, incluso tridimensionales, permitiendo grandes cambios en su apariencia y facilidad de exportación a otros programas para presentar finalmente los resultados del estudio.







Probabilidad Condicional ICFES

Los estudiantes de una escuela se encuentran distribuidos en 3 secciones: Pre-escolar, Primaria y Bachillerato. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada sección clasificados por género:



Mujer
Hombre
Total
Pre-escolar
A
E
I
Primaria
B
F
J
Bachillerato
C
G
K
Total
D
H
L


Si se elige aleatoriamente a un estudiante.
1)       La probabilidad de que sea mujer es:
a)       D / L
b)       D / I
c)       L / D
d)       D / A + B

2)       La probabilidad de que sea hombre y este en pre-escolar es:
a)       F / L
b)       E / L
c)       E / L
d)       E / F + G

3)       Cuál de estas es una probabilidad conjunta?
a)       La probabilidad de que sea mujer
b)       La probabilidad de que sea mujer y este en primaria
c)       La probabilidad de que sea muejr y este en pre-escolar
d)       La probabilidad de que sea mujer y este en bachillerato

4)       La probabilidad de que sea mujer y estudia en primaria:
a)       B / L
b)       B / E
c)       B / D
d)       D / B

5)       A una heladería van 10 hombres y 15 mujeres. De ellos, 5 hombres y 12 mujeres comieron helado de chocolate mientras que el resto comió helado de vainilla.
La probabilidad de que al elegir una persona al azar y sea hombre dado que come helado de vainilla:
a)       5 / 25
b)       17 / 10
c)       5 / 8
d)       10 / 8
En un salón hay 30 estudiantes 18 hombres y 12 mujeres. Deciden dividir el curso en 3 grupos, en el grupo A están los que practican 1 deporte, en el grupo B los que practican más d un deporte y en el C los que no practican deportes. Y se obtuvo la siguiente tabla

Grupo/Sexo
HOMBRE
MUJER

Grupo A
6
3
9
Grupo B
8
4
12
Grupo C
4
5
9

18
12
30

6)  Cuál es la probabilidad de que al azar salga una mujer
a) 50%
b) 12/30
c) 10%
d) 3/9

7) Cuál es la probabilidad de que salga mujer dado a que no practica deporte
a) 5/9
b) 4/9
c) 5/30
d) 4/30

8)  calcule la probabilidad de que practique más de un deporte dado a que sea hombre
a) 8/30
b) 8/12
c) 20% aproximadamente
d) 45% aproximadamente

9)  Cuál es la probabilidad que del grupo B no salga mujer
a) 8/12
b) 4/12
c) 8/14
d) 4/14

10)  Cuál es la probabilidad de que no practiquen algún deporte
a) 9/30
b) 12/30
c) 26/30
d) ninguna de las anteriores

Probabilidad ICFES

1)      Halle el espacio muestral del lanzamiento de 3 monedas.
a)        CCC,CCS,CSC,CSS,SCS
b)        CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS
c)        SCS,CSS,CCC,SCS
d)        SCS,CCC,SCC,CCS,CSS,CSC

2)      Cuál es la probabilidad de que al lanzar 3 monedas se obtengan al menos 2 caras.
a)      4/8 (100) = 50%
b)      2/2 (100) = 100%
c)      3/8 (100) = 37.5%
d)      1/3 (100) = 33.3%

3)      Cuál es la probabilidad de que al lanzar 3 monedas se obtengan al menos 1 sello.
a)      7/8 (100) = 87.5%
b)      9/24 (100) = 37.5%
c)      3/6 (100) = 50%
d)      2/7 (100) = 28.5%

4)      Luego de lanzar 2 dados. Calcula la probabilidad de que la suma sea 5 o 3.
a)      6/30 (100) = 20%
b)      5/36 (100) = 13.8%
c)      4/30 (100) = 13.3%
d)      6/36 (100) = 17%

5)      Luego de lanzar 2 dados. Calcula la probabilidad de que la suma sea  7. No puede haber dos números iguales sumados.
a)      5/36 (100) = 13.8%
b)      4/30 (100) = 13.3%
c)      6/36 (100) = 17%
d)      6/30 (100) = 20%

6)      De cuantas maneras distintas puede un obrero vestirse si posee: una camisa roja, una camisa azul, una camisa blanca; un pantalón azul, un pantalón negro, un pantalón café; un par de tenis y un par de zapatos.
a)      16
b)      6
c)      18
d)      12

7)      Si utilizamos 27 letras y 10 dígitos. Cuál es el numero de placas que se pueden fabricar cuya parte inicia:  A _ _ 3_ _

a)      27 x 10 ²
b)      27 ² x 10 ²
c)      27 ² x 10
d)      27 ³ x 10

8)      Si la primera letra en las placas de una ciudad son E o D. Cuál es el número de placas que se pueden fabricar.

a)      ( 27 ² x 10 ³ ) 2
b)      ( 27 ³ x 10 ²) 2
c)      ( 27² x 10² )
d)      ( 27 ² x 10 ) 1/2



9)      En una clase de 35 estudiantes se desea elegir un comité de 5 estudiantes. Cuantas formas diferentes se pueden presentar.

a)      325492
b)      324632
c)      205412
d)      654801

10)  Con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Cuantos números de 8 dígitos se pueden presentar.
a)      40320
b)      14515
c)      50321
d)      45201

11)  Se tienen 6 envases que contienen pinturas de distintos colores, ¿de cuántas formas  se pueden mezclar los 6 colores?
a)      420
b)      720
c)      520
d)      620

Del enunciado siguiente responder las preguntas 12,13 y 14. Un grupo de 7 hombres y 5 mujeres forma un comité de 2 mujeres y 3 hombres
12)  ¿cómo se puede formar si en el grupo puede pertenecer cualquier hombre y mujer?
a)      270
b)      540
c)      1020
d)      350

13)   Un hombre determinado debe estar incluido en el grupo
a)      100
b)      150
c)      200
d)      350

14)   Dos mujeres específicas no deben pertenecer al grupo
a)      105
b)      200
c)      520
d)      1000

Contestar de la pregunta 15 y 16 con el siguiente enunciado. Zoraida desea invitar a comer a su casa a 5 de sus 11 amigos.
15)   ¿de cuantas maneras puede invitar Zoraida a sus amigos?
a)      821
b)      324
c)      462
d)      264

16)   Si hay dos amigos en específico a los cuales debe invitar, como podría distribuir las demás invitaciones?
a)      98
b)      20
c)      84
d)      64

17)   En una maratón compiten 15 participantes, de cuantas formas podría organizarse el primer, segundo y tercer puesto?
a)      2730
b)      6540
c)      584
d)      2010

18)    En un curso hay 21 estudiantes y 21 sillas, ¿de cuántas formas pueden sentarse los estudiantes?
a)      42!
b)      21!
c)      11!
d)      19!

19)   Un estudiante responde al azar 4 preguntas de verdadero y falso:
A)     Dibuje el espacio muestral
B)     Calcule la probabilidad de que haya la misma cantidad tanto de verdaderos como falsos.
A)
a)      (V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)(F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)
b)      (V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)(F, V, V, F)
c)      (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)
d)      (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)(F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V)

B)
a)      6/16 = 37,5%
b)      8/32 = 25%
c)      5/40 = 12.5%
d)      4/24 = 16.6%

20)   Con los dígitos pares se quiere formar números de tres cifras ¿cuál es la probabilidad de que el número tenga las mismas cifras?
a)      8/32 = 25%
b)      9/45 = 20%
c)      5/40 = 12.5%
d)      4/24 = 16,6%